$\left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 2 & \sin x + 2x & \sin y + 2y \\ 3 & \cos x + 3x & \cos y + 3y \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a - b}&{b - c}&{c - a} \\ {b - c}&{c - a}&{a - b} \\ {c - a + 1}&{a - b}&{b - c} \end{array}} \right| = 0$,જ્યાં $a, b, c \in R - \{0\}$,તો:

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x),$ જ્યાં $p$ એ કોઈ અદિશ છે.

શૂન્યતર,વાસ્તવિક $a, b$ અને $c$ માટે,જો $\left| \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right| = \alpha abc$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $A_1B_1C_1, A_2B_2C_2, A_3B_3C_3$ એ ત્રણ અંકની સંખ્યાઓ હોય,જે દરેક $k$ વડે વિભાજ્ય છે અને $\Delta = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}$ હોય,તો $\Delta$ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જો $x, y, z$ ભિન્ન હોય અને $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|=0,$ હોય,તો સાબિત કરો કે $1+x y z=0$.